PROGRAM MATEMATIKE III - 2004.            

http://matematika3.etf.bg.ac.rs

III semestar 3+3

1. Funkcije više promenljivih. (6 časova) Pojam, granična vrednost, neprekidnost i ravnomerna neprekidnost funkcije više promenljivih. Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i diferencijabilnost funkcija više promenljivih. Taylorova formula. Bezuslovni ekstremumi funkcija više promenljivih. Silvesterov kriterijum. Uslovni ekstremumi.

2. Krivolinijski i višestruki integrali. (8 časova) Krivolinijski integrali prve i druge vrste. Pojam Darbouxovih suma, dvojnog, trojnog i višestrukog integrala. Osobine Darbouxovih suma, integrabilnih funkcija i integrala. Smena promenljivih u višestrukim integralima. Green-Riemannova teorema. Nezavisnost krivolinijskih integrala od puta integracije. Osnovni pojmovi i osobine Gama i Beta funkcije.

3. Površinski integrali. (5 časova) Orijentabilne površi i orijentacija površi. Površinski integrali prve i druge vrste. Stokesova teorema. Teorema Ostrogradskog.

4. Teorija polja. (4 časa) Pojam skalarnog i vektorskog polja. Prostorni izvodi: gradijent, divergencija i rotor. Teorema o razlaganju složenog polja. Klasifikacija vektorskih polja. Pregled računa sa operatorom nabla i Laplaceovim operatorom. Krivolinijski, višestruki i površinski integrali u terminologiji teorije polja.

5. Kompleksna analiza. (10 časova) Pojam otvorene i zatvorene kompleksne ravni. Jednoznačne i višeznačne funkcije. Granična vrednost, neprekidnost i ravnomerna neprekidnost kompleksne funkcije. Diferencijabilnost kompleksne funkcije. Pojam izvoda. Cauchy-Riemannovi uslovi. Pojmovi regularne, singularne i analitičke funkcije. Vrste singulariteta funkcije. Konformno preslikavanje. Pojam krivolinijskog integrala kompleksne funkcije kompleksne promenljive. Cauchy-Goursatove teoreme. Cauchyeva osnovna integralna formula. Izvodi regularne funkcije. Taylorov i Laurentov red. Funkcijski redovi. Uslovi konvergencije. Stepeni red. Cauchy-Hadamarov stav. Veza Laurentovog reda i singulariteta funkcije. Pojam ostatka funkcije u konačnoj tački i u beskonačnosti. Ostatak funkcije u polu reda n. Izračunavanje ostatka u beskonačnosti. Cauchyjeva teorema o residuumima. Zbir ostataka analitičke funkcije u zatvorenoj kompleksnoj ravni. Primena računa ostataka na izračunavanje određenih integrala.

6. Fourierovi redovi i integrali. (4 časa) Trigonometrijski Fourierov red. Riemannova lema. Obična i ravnomerna konvergencija trigonometrijskog Fourierovog reda. Dirichletova teorema. Parsevalova jednakost. Fourierov integral. Konvergencija Fourierovog integrala. Kompleksan oblik Fourierovog reda i integrala. Pojam i osobine Fourierove i inverzne Fourierove transformacije.

7. Laplaceova transformacija. (5 časova) Pojam orginala i pojam Laplaceove transformacije. Teorema o analitičnosti Laplaceove transformacije. Osobine Laplaceove transformacije. Konvolucija funkcija. Inverzna Laplaceova transformacija. Bromwichov integral. Primene Laplaceove transformacije na rešavanje diferencijalnih, integralnih i sistema diferencijalno-integralnih jednačina.

PRAKUTIKUM IZ MATEMATIKE III

SOFTVERSKI ALATI U MATEMATICI  

http://рm3.etf.bg.ac.rs

 III semestar,  0+2 časova,

1. Funkcije više promenljivih  (4 časa) Implicitno zadane funkcije više promenljivih. Teorema o egzistenciji implicitno zadane funkcije. Diferenciranje i geometrijska interpretacija. Formiranje odgovarajućih funkcija koje opisuju geometrijske probleme i primena metoda nalaženja ekstremuma na geometrijske probleme.         

2.  Krivolinijski, višestruki i površinski integrali  (8 časova)  Klasifikacija površi drugog reda i ispitivanje osobina krivih i površi. Transformacije trodimenzionog koordinatnog sistema.  Odabir parametrizacije krive, površi ili tela za nalaženje integrala. Složeniji problemi nalaženja integrala.  

3.  Teorija polja (4 časa)    Izvod vektora u pravcu vektora.  Prostorni izvodi višeg reda.  Izvodjenje formula računa sa operatorom nabla i Laplaceovim operatorom.

4. Kompleksna analiza  (6 časova)  Problemi singulariteta funkcija i odredjivanja ostataka. Analitičko produženje funkcija. Razni problemi konturne integracije. Integracije po pravougaoniku i delovima kruga. 

5.  Furijeovi redovi, integrali i transformacija. ( 6 časova) Rešavanje integralnih jednačina primenom Furijeove transformacije.  Rešavanje diferencijalnih jednačina nalaženjem parikularnog rešenja u obliku Furijeovog reda.

Napomena. Izvodjenje nastave planirano je na računaru, uz pomoć matematičkog softvera kao što je Maple, Derive, MatLab, MatCad i Matematica, ukoliko tehničke mogućnosti za takav vid nastave budu obezbedjene.